Solve X
Emner
Søg i TI-Nspire-guides …⌘K
Log indOpret gratis bruger
Guide til TI-Nspire CAS

Differential og integralregning

Afledede funktioner og stamfunktioner

Tabellerne viser de vigtigste regler. I Nspire finder du afledede funktioner med differentialskabelonen og stamfunktioner med integralskabelonen.

Potens

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)'=n\cdot x^{n-1}

Eksponentiel

(ekx)′=k⋅ekx(e^{kx})'=k\cdot e^{kx}

Stamfunktion

∫xn dx=1n+1xn+1+k\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+k

Tabel over funktioner, afledede funktioner og stamfunktioner, del 1

Eksempel

Find f′(x) og en stamfunktion til f(x) = x³ + 2x.

f′(x) = 3x² + 2 og F(x) = ¼x⁴ + x² + k

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Differentiér

    Brug skabelonen d/dx fra matematikskabelonerne, eller skriv derivative.

    d/dx(x^3+2*x)
    → 3*x^2+2
    TI-Nspire differentiation af x³ + 2x

  3. Find en stamfunktion

    Brug integralskabelonen uden grænser. Husk selv at skrive + k i din besvarelse.

    ∫(x^3+2*x, x)
    → x^4/4+x^2
    TI-Nspire stamfunktion til x³ + 2x

  4. Flere regler

    Den anden del af tabellen viser eksponential, rod og trigonometriske funktioner.

    Tabel over funktioner, afledede funktioner og stamfunktioner, del 2

Tangentens ligning

Tangenten i et punkt har samme hældning som grafen i punktet. Hældningen er f′(x₀).

Tangent

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Eksempel

Find tangenten til f(x) = x³ − 3x + 1 i x₀ = 2.

y = 9x − 15

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Definér funktionen

    Brug Define, så kan du genbruge f.

    Define f(x)=x^3-3*x+1
    → Udført
    TI-Nspire Define f(x) = x³ − 3x + 1

  3. Brug tangentLine

    tangentLine giver tangentens ligning direkte.

    tangentLine(f(x), x, 2)
    → 9*x-15
    TI-Nspire tangentLine der giver 9x − 15

  4. Eller brug formlen

    Til eksamen er det godt at vise formlen. Beregn f′(2) og f(2) og sæt ind.

    d/dx(f(x))|x=2
f(2)
    → 9
→ 3
    TI-Nspire f′(2) = 9 og f(2) = 3

Monotoniforhold og ekstrema

Hvor f′(x) = 0 kan grafen have et toppunkt eller bundpunkt. Fortegnet for f′ fortæller, om funktionen vokser eller aftager.

Mulige ekstrema

f′(x)=0f'(x)=0

Voksende

f′(x)>0f'(x)>0

Aftagende

f′(x)<0f'(x)<0

Eksempel

Bestem monotoniforholdene for f(x) = x³ − 3x + 1.

Voksende for x ≤ −1 og x ≥ 1, aftagende for −1 ≤ x ≤ 1

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Løs f′(x) = 0

    Find de x-værdier, hvor hældningen er 0.

    solve(d/dx(f(x))=0, x)
    → x = -1 or x = 1
    TI-Nspire solve af f′(x) = 0

  3. Undersøg fortegnet

    Indsæt et tal i hvert interval i f′. Positiv betyder voksende, negativ betyder aftagende.

    d/dx(f(x))|x=-2
d/dx(f(x))|x=0
d/dx(f(x))|x=2
    → 9
→ -3
→ 9
    TI-Nspire fortegn for f′ i tre punkter

  4. Konkludér

    f er voksende for x ≤ −1, aftagende for −1 ≤ x ≤ 1 og voksende for x ≥ 1. Der er lokalt maksimum i x = −1 og lokalt minimum i x = 1.

Bestemt integral og areal

Arealet mellem en graf og x-aksen, eller mellem to grafer, finder du med et bestemt integral.

Areal under graf

A=∫abf(x) dxA=\int_a^b f(x)\,dx

Mellem grafer

A=∫ab(f(x)−g(x))dxA=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx

Eksempel

Find arealet mellem f(x) = −0,5x² + 2x + 6 og g(x) = 0,5x + 1.

A = 343/12 ≈ 28,58

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Find grænserne

    Grænserne er skæringspunkterne mellem graferne.

    solve(-0.5*x^2+2*x+6=0.5*x+1, x)
    → x = -2 or x = 5
    TI-Nspire skæring mellem to grafer x = −2 og x = 5

  3. Beregn integralet

    Brug integralskabelonen med grænser. Den øverste graf minus den nederste.

    ∫(-0.5*x^2+2*x+6-(0.5*x+1), x, -2, 5)
    → 28.5833
    TI-Nspire integral der giver arealet 28,5833

Rumfang af omdrejningslegeme

Drejes området under en graf 360° om x-aksen, får du et omdrejningslegeme. Rumfanget findes med et integral.

Rumfang

V=π∫abf(x)2 dxV=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx

Eksempel

Find rumfanget når f(x) = √x, 0 ≤ x ≤ 4, drejes om x-aksen.

V = 8π ≈ 25,13

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Brug formlen

    Kvadrér funktionen inde i integralet og gang med π.

    π*∫((sqrt(x))^2, x, 0, 4)
  (ctrl+enter)
    → 8*π
→ 25.1327
    TI-Nspire rumfang af omdrejningslegeme 8π ≈ 25,1327
EKSAMENSOPGAVER

Øv dig på eksamensopgaver

Regn dem selv først — løsningen og svaret kan du afsløre, når du er klar.

Besøgende i et svømmelandGratis løsningEn æske uden låg🔒 Løsning med loginOmråde mellem to grafer🔒 Løsning med login