Solve X
Emner
Søg i TI-Nspire-guides …⌘K
Log indOpret gratis bruger
Guide til TI-Nspire CAS

Eksponentielle funktioner

Find forskriften for en eksponentiel funktion

En eksponentiel funktion har forskriften f(x) = b · aˣ. Kender du to punkter, kan du finde fremskrivningsfaktoren a og begyndelsesværdien b.

Forskrift

f(x)=b⋅axf(x)=b\cdot a^x

Fremskrivningsfaktor

a=y2y1x2−x1a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}

Vækstrate

r=a−1r=a-1

Eksempel

Grafen går gennem (2, 50) og (5, 86,4). Find a og b.

a = 1,2 og b ≈ 34,72, så f(x) = 34,72 · 1,2ˣ

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Find fremskrivningsfaktoren a

    Brug formlen med de to punkter. Roden tages med skabelonen for n'te rod eller som potens 1/(x₂ − x₁).

    (86.4/50)^(1/(5-2))
    → 1.2
    TI-Nspire udregning af fremskrivningsfaktoren 1,2

  3. Find begyndelsesværdien b

    Løs b · a^x₁ = y₁ for b.

    solve(50=b*1.2^2, b)
    → b = 34.7222
    TI-Nspire solve der giver b = 34,7222

  4. Vækstrate i procent

    Vækstraten er r = a − 1. Her vokser funktionen altså med 20 % pr. gang x stiger med 1.

    (1.2-1)*100
    → 20.
    TI-Nspire udregning af vækstraten 20 procent

Fordoblings og halveringskonstant

Fordoblingskonstanten er den tid, det tager en voksende eksponentiel funktion at blive dobbelt så stor. Halveringskonstanten er det samme for en aftagende.

Fordobling

T2=ln⁡(2)ln⁡(a)T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Halvering

T12=ln⁡(0,5)ln⁡(a)T_{\frac12}=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)}

Eksempel

f(x) = 34,72 · 1,2ˣ. Find fordoblingskonstanten.

T₂ = ln(2)/ln(1,2) ≈ 3,80

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Åbn en Lommeregner side

    Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.

    TI-Nspire tom Lommeregner side

  2. Brug formlen

    Indsæt fremskrivningsfaktoren a i formlen.

    ln(2)/ln(1.2)
    → 3.80178
    TI-Nspire udregning af fordoblingskonstanten 3,80178

  3. Halveringskonstant for en aftagende funktion

    Er a < 1 aftager funktionen. Brug ln(0,5) i tælleren, fx for a = 0,89.

    ln(0.5)/ln(0.89)
    → 5.94803
    TI-Nspire udregning af halveringskonstanten 5,94369

Eksponentiel regression

Har du data, der vokser eller aftager med en fast procent, finder du den bedste eksponentielle model med ExpReg.

Model

y=b⋅axy=b\cdot a^x

Tabel med temperatur og holdbarhed

Eksempel

Tabellen viser holdbarheden af en vare ved forskellige temperaturer. Find en eksponentiel model.

y = 15,71 · 0,8913ˣ

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

  1. Indtast data

    Tilføj en Lister og regneark side og skriv data ind i to navngivne kolonner, fx temp og hold.

  2. Lav eksponentiel regression

    Gå til Statistik → Statistiske beregninger → Eksponentiel regression. Vælg dine to lister og gem i f1. Eller skriv kommandoen direkte i Lommeregneren:

    ExpReg temp,hold,1
stat.a
stat.b
stat.r²
    → 
→ 15.7109
→ 0.891277
→ 0.999114
    TI-Nspire ExpReg med resultaterne stat.a, stat.b og r²

  3. Pas på bogstaverne

    Nspire skriver modellen som y = a · bˣ, altså med bogstaverne byttet om i forhold til dansk skrivemåde. Her er fremskrivningsfaktoren 0,8913 og begyndelsesværdien 15,71.

EKSAMENSOPGAVER

Øv dig på eksamensopgaver

Regn dem selv først — løsningen og svaret kan du afsløre, når du er klar.

BakterievækstGratis løsningVærditab på en elcykel🔒 Løsning med login