Guide til TI-Nspire CAS

Linjer og vektorer

Vektorer i planen: koordinater, længde og sum

En vektor har en længde og en retning. I Nspire skriver du en vektor med firkantede parenteser, fx [3, 4].

Vektor fra A til B

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}$

Længde

$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

Eksempel

A(1, 2) og B(7, −1). Find vektor AB og afstanden |AB|.

AB = (6, −3) og |AB| ≈ 6,71

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Find vektoren mellem to punkter
Træk koordinaterne for startpunktet fra slutpunktet.
```
[7,-1]-[1,2]
```
```
→ [6,-3]
```
3
Find længden med norm
norm giver vektorens længde, og dermed afstanden mellem A og B.
```
norm([6,-3])
norm([6,-3])  (ctrl+enter)
```
```
→ 6.7082
→ 6.7082
```
4
Læg vektorer sammen og gang med tal
Du regner med vektorer ligesom med tal.
```
2*[3,4]+[-2,5]
```
```
→ [4,13]
```

Skalarprodukt og vinkel mellem vektorer

Skalarproduktet bruger du til at finde vinklen mellem to vektorer og til at tjekke, om de står vinkelret på hinanden.

Skalarprodukt

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

Vinkel

$\cos v=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

Vinkelret

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Eksempel

a = (3, 4) og b = (−2, 5). Find vinklen mellem a og b.

v ≈ 58,67°

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Beregn skalarproduktet
Brug dotP. Er resultatet 0, står vektorerne vinkelret på hinanden.
```
dotP([3,4],[-2,5])
```
```
→ 14
```
3
Find vinklen
Husk at vinkelenheden skal være grader. Brug arccos på formlen.
```
arccos(dotP([3,4],[-2,5])/(norm([3,4])*norm([-2,5])))
```
```
→ 58.6713
```
4
Projektion af en vektor
Projektionen af a på b er (a · b / |b|²) · b.
```
dotP([5,2],[3,-1])/norm([3,-1])^2*[3,-1]
```
```
→ [3.9,-1.3]
```

Tværvektor, determinant og areal

Tværvektoren står vinkelret på vektoren. Determinanten bruger du til at tjekke parallelitet og finde arealer.

Tværvektor

$\hat{a}=\begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix}$

Determinant

$\det(\vec{a},\vec{b})=a_1b_2-a_2b_1$

Areal af trekant

$T=\frac12|\det(\vec{a},\vec{b})|$

Eksempel

a = (3, 4) og b = (−2, 5). Find determinanten og arealet af parallelogrammet.

det = 23, så arealet er 23

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Beregn determinanten
Sæt vektorerne ind som rækker i en 2×2 matrix og brug det. Er determinanten 0, er vektorerne parallelle.
```
det([[3,4][-2,5]])
```
```
→ 23
```
3
Areal af en trekant
Arealet af trekanten udspændt af a og b er den halve numeriske værdi af determinanten.
```
1/2*abs(det([[3,4][-2,5]]))
```
```
→ 23/2
```

Linjens ligning og afstand fra punkt til linje

En linje kan skrives med en normalvektor (ligning) eller med en retningsvektor (parameterfremstilling). Afstanden fra et punkt til en linje har sin egen formel.

Ligning

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

Parameterfremstilling

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$

Afstand

$\text{dist}=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Eksempel

Linjen l har ligningen 2x − 3y + 4 = 0. Find afstanden fra P(5, 7) til l.

dist ≈ 1,94

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Opstil linjens ligning
Linjen gennem (1, 2) med normalvektor (2, −3) bliver 2(x − 1) − 3(y − 2) = 0.
```
expand(2*(x-1)-3*(y-2))
```
```
→ 2*x-3*y+4
```
3
Afstand fra punkt til linje
Indsæt punktet i formlen.
```
abs(2*5-3*7+4)/sqrt(2^2+(-3)^2)
```
```
→ 1.94145
```

EKSAMENSOPGAVER

Øv dig på eksamensopgaver

Regn dem selv først — løsningen og svaret kan du afsløre, når du er klar.

Trekant med vektorerGratis løsning Vinkelrette og parallelle vektorer🔒 Løsning med login

Vektorer i planen: koordinater, længde og sum

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Find vektoren mellem to punkter

Find længden med norm

Læg vektorer sammen og gang med tal

Skalarprodukt og vinkel mellem vektorer

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Beregn skalarproduktet

Find vinklen

Projektion af en vektor

Tværvektor, determinant og areal

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Beregn determinanten

Areal af en trekant

Linjens ligning og afstand fra punkt til linje

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Opstil linjens ligning

Afstand fra punkt til linje

Øv dig på eksamensopgaver