Guide til TI-Nspire CAS

Rumgeometri

Vektorer i rummet: længde, afstand og vinkel

I rummet har vektorer tre koordinater, men du regner med dem på samme måde som i planen.

Længde

$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Vinkel

$\cos v=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

Eksempel

A(1, 2, 0), B(4, 0, 3) og C(3, 4, 2). Find |AB| og vinklen mellem AB og AC.

|AB| ≈ 4,69 og vinklen ≈ 60,50°

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Find vektorerne
Træk startpunktet fra slutpunktet. Gem dem med :=, så du kan genbruge dem.
```
ab:=[4,0,3]-[1,2,0]
ac:=[3,4,2]-[1,2,0]
```
```
→ [3,-2,3]
→ [2,2,2]
```
3
Længde og afstand
norm giver længden og dermed afstanden mellem A og B.
```
norm(ab)
  (ctrl+enter)
```
```
→ sqrt(22)
→ 4.69042
```
4
Vinkel mellem vektorerne
Brug formlen med dotP og norm i grader.
```
arccos(dotP(ab,ac)/(norm(ab)*norm(ac)))
```
```
→ 60.5038
```
Husk at slette variablerne
Slet ab og ac med DelVar, når du er færdig med opgaven.

Krydsprodukt og planens ligning

Krydsproduktet af to vektorer står vinkelret på dem begge. Derfor bruger du det til at finde en normalvektor og opstille en plans ligning.

Plan

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

Areal

$T=\frac12|\vec{a}\times\vec{b}|$

Illustration af krydsproduktet a × b som vektor vinkelret på a og b

Eksempel

Find en ligning for planen gennem A(1, 2, 0), B(4, 0, 3) og C(3, 4, 2).

x − z − 1 = 0

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Beregn krydsproduktet
crossP giver en normalvektor til planen.
```
crossP([3,-2,3],[2,2,2])
```
```
→ [-10,0,10]
```
3
Opstil planens ligning
Brug normalvektoren og punktet A. Du må gerne dividere med 10 eller −10 for at få pænere tal.
```
expand(-10*(x-1)+0*(y-2)+10*(z-0))
```
```
→ -10*x+10*z+10
```
4
Areal af trekant ABC
Det halve af krydsproduktets længde.
```
1/2*norm(crossP([3,-2,3],[2,2,2]))
```
```
→ 5*sqrt(2)
```

Linjer, skæringspunkter og afstande

En linje i rummet skrives med en parameterfremstilling. Du kan finde, hvor den skærer en plan, og hvor langt et punkt er fra planen.

Linje

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}$

Afstand

$\text{dist}=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Vinkel linje/plan

$\sin v=\frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|}$

Eksempel

Linjen l går gennem (1, 0, 2) med retningsvektor (2, 1, −1). Find skæringspunktet med planen x − z − 1 = 0.

(7/3, 2/3, 4/3)

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Indsæt linjen i planens ligning
Indsæt x = 1 + 2t, y = t og z = 2 − t i planens ligning og løs for t.
```
solve((1+2*t)-(2-t)-1=0, t)
```
```
→ t = 2/3
```
3
Find punktet
Sæt t ind i parameterfremstillingen.
```
[1,0,2]+2/3*[2,1,-1]
```
```
→ [7/3,2/3,4/3]
```
4
Afstand fra punkt til plan
Indsæt punktet P(5, 5, 5) i afstandsformlen.
```
abs(5-5-1)/sqrt(1^2+0^2+(-1)^2)
```
```
→ sqrt(2)/2
```
5
Vinkel mellem linje og plan
Brug arcsin, da vinklen måles mellem linjen og planen.
```
arcsin(abs(dotP([2,1,-1],[1,0,-1]))/(norm([2,1,-1])*norm([1,0,-1])))
```
```
→ 60.
```

Kuglens ligning og tangentplan

En kugle med centrum C og radius r har ligningen (x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r². Tangentplanen i et punkt har CP som normalvektor.

Kugle

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$

Eksempel

Kuglen har centrum C(1, −2, 3) og radius 3. Find tangentplanen i Q(3, −1, 5).

2x + y + 2z − 15 = 0

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side
Opret et nyt dokument med ctrl + N og vælg Tilføj Lommeregner.
2
Tjek at punktet ligger på kuglen
Indsæt punktet i venstresiden. Giver det r² = 9, ligger punktet på kuglen.
```
(3-1)^2+(-1+2)^2+(5-3)^2
```
```
→ 9
```

Opstil tangentplanen

Normalvektoren er CQ = Q − C.

[3,-1,5]-[1,-2,3]
expand(2*(x-3)+1*(y+1)+2*(z-5))

→ [2,1,2]
→ 2*x+y+2*z-15

TI-Nspire tangentplanen 2x + y + 2z − 15

EKSAMENSOPGAVER

Øv dig på eksamensopgaver

Regn dem selv først — løsningen og svaret kan du afsløre, når du er klar.

En trekant i rummetGratis løsning Linje og plan🔒 Løsning med login

Vektorer i rummet: længde, afstand og vinkel

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Find vektorerne

Længde og afstand

Vinkel mellem vektorerne

Husk at slette variablerne

Krydsprodukt og planens ligning

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Beregn krydsproduktet

Opstil planens ligning

Areal af trekant ABC

Linjer, skæringspunkter og afstande

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Indsæt linjen i planens ligning

Find punktet

Afstand fra punkt til plan

Vinkel mellem linje og plan

Kuglens ligning og tangentplan

Eksempel

Sådan gør du i TI-Nspire CAS

Åbn en Lommeregner side

Tjek at punktet ligger på kuglen

Opstil tangentplanen

Øv dig på eksamensopgaver