Matematikhjælp i TI-Nspire: Lineære funktioner

page-template-default,page,page-id-553,ajax_fade,page_not_loaded,,select-theme-ver-4.7,vertical_menu_enabled,paspartu_enabled,menu-animation-underline,side_area_uncovered,smooth_scroll,wpb-js-composer js-comp-ver-7.9,vc_responsive

Lineære Funktioner

En lineær funktion har forskriften $y=a\cdot x+b$ , som svarer til ligningen for en ret linje. Hvor a er hældningskoefficient, og b er der, hvor den rette linje skærer y-aksen. Hældningskoefficienten a er grafens hældning. Grafens hældning kan enten være:

$a>0$ så er funktionen voksende

$a=0$ så er funktionen konstant

$a<0$ så er funktionen aftagende

Hældningskoefficient

Kender man to punkter $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$ , som ligger på den rette linje, kan hældningskoefficienten findes ud fra formlen:

$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Skæring med y-aksen

Kender man derimod kun et punkt og hældningskoefficienten, kan man finde b med følgende formel:

$b=y_1-a\cdot x_1$

Denne værdi vil være der, hvor den lineære funktion skærer y-aksen.

Lineær regression

I følgende eksempel vil der blive set nærmere på lineær regression, og hvordan det udregnes på TI-Nspire.

Skemaet viser trykket (atm) i forskellige dybder (m) under havoverfladen

a) Gør rede for, at trykket med god tilnærmelse er en lineær funktion af dybden.

b) Find trykket i en dybde på 150 m, og bestem den dybde, hvor trykket er 30 atm.

Dataene indtastes i et Lister og Regneark værksted. Kolonnerne navngives dybde og tryk hhv.:

For at få udført en lineær regression på disse punkter, vælger du 4:Statistik $\rightarrow$ 1:Statistiske beregninger… $\rightarrow$ 3:Lineær regression (mx+b). Dette åbner den viste dialog:

I dialogen skal du udpege x-listen og y-listen. Dette kandu gøre ved at referere til kolonnerne ved at vælge dybde og tryk i kombinationsboksene:

I det tredje felt, Gem RegEqn i, skal du angive, hvor du vil gemme regressionsligningen (som funktion). Her foreslås f1, og er den ikke brugt til noget andet, så vælg den. Herved bliver regressionsligningen f1 tilgængelig i andre værksteder.

Husk at indstille feltet 1. resultat kolonne (her c[] ), dvs., hvor du vil have sat resultatet af regressionen ind i regnearket.

Klik OK, og resultatet vises i kolonne C og D:

Her kan du se, at regressionslinjen får hældningen (m) 0.09599, og at trykket ved overfladen (b) er 1.0008.

Resultatet af regressionen viser tillige to størrelser: r (korrelationskoefficient) og r2 (forklaringsgrad). Almindeligvis regnes en model for acceptabel, hvis r2 er over 0.95, og glimrende, hvis r2 er over 0.99. Din lineære model er altså glimrende idet r²=1.0!

Residualerne, Resid, finder du nederst på det højre skærmbillede. Resid er en liste af tal, der viser forskellen mellem de observerede trykværdier og de (teoretiske) trykværdier beregnet vha. modellen.

For at finde trykket i en dybde på 150 m og bestemme den dybde, hvor trykket er 30 atm., kan du indsætte et Noter værksted:

I TI-Nspire kan man opnå en hvis grafisk kontrol med de rigtige tricks. Hvis du har lavet regressionen i Lister og Regneark, behøver du ikke at genberegne regressionsligningen i Diagrammer og Statistik værkstedet — nu kan du direkte plotte funktionen f1.

Indsæt et Diagrammer og Statistik værksted, og indstil akserne til at vise dybde og tryk hhv. Vælg 4:Undersøg data $\rightarrow$ 4:Plot funktion

Hvis man derimod vil plotte residualerne, skal du indsætte et nyt Diagrammer og Statistik værksted. Indstil som vist på det venstre skærmbillede, og straks får du tegnet residualplottet:

Residuallisten hedder som variabel stat.resid

Du kan lave den grafiske kontrol i et og samme Diagrammer og Statistik værkstedet ved først at indstille akserne til at vise dybde og tryk, og dernæst vælge 4:Undersøg data $\rightarrow$ 7:Residualer $\rightarrow$ 2:Vis residual plot:

Plottet viser, at datapunkterne ligger tilfældigt fordelt omkring den rette linje, og at den typiske afvigelse på den enkelte måling er af størrelsesorden 0.001.