Differentialligninger

Er der yderligere givet en startbetingelse, fx (0,1), skrives der følgende deSolve(y’=y*x and y(0)=1,x,y)

Opgave eksempler for 1. ordens differentialligninger

Læg mærke til syntaksen i deSolve: Først indtastes ligningen, derefter den uafhængige variabel og til slut den variabel, der skal løses med hensyn til.

I skærmbilledet ovenfor er ligningen først løst uden bibetingelser af nogen art, og dernæst er tilføjet bibetingelsen y(0) = 225.

Ved at tilføje bibetingelsen direkte i deSolve slipper du altså for selv at skulle bestemme den arbitrære konstant c1, der optræder i løsningen uden bibetingelser.

Du mangler blot at bestemme k. Dette sker ved at indsætte t = 1 og y = 150 i ligningen:

y=205\cdot e^{-k\cdot t}+20

og løse denne mht. k. Dette kan du klare i én indtastning ved brug af lodret linje |. Brug også lodret linje til at indsætte den fundne k-værdi i løsningen:

Opgave eksempler for 2. ordens differentialligninger

Eksempel 1:

Løs differentialligningen y''=-9\cdot y og bestem den løsning, der

a) går gennem linjeelementet (0,1,3).

b) går gennem punkterne (0,1) og (\frac{1}{2}\pi,3) .

c) opfylder, at y'(\frac{1}{2}\pi)=3 og y'(0)=1.

Løser du differentialligningen uden bibetingelser af nogen art, får du to arbitrære konstanter i løsningen (c1 og c2), som du selv skal bestemme. Med bibetingelserne y(0)=1 og y'(0)=3, og med randbetingelserne y(0)=1 og y'(\frac{1}{2}\pi)=3, får du løsningen fuldstændig bestemt:

Så simpelt går det ikke i den tredje og sidste del af opgaven. TI-Nspire vil nemlig ikke acceptere to hældninger som betingelse, så i første omgang må du nøjes med at tilføje den første.

Herefter må du differentiere løsningen y, og løse ligningen y'(0)=1 med hensyn til den tilbageværende konstant (her c2):

Det er nemmest at kopiere c2 fra historikken til solve kommandoen. Alternativt kan du indtaste direkte som @c2.

Eksempel 2:

Et matematisk pendul består af et lod med massen m ophængt i en masseløs snor med længden L.

Loddet slippes fra hvile med et startudsving på \theta_0. Man kan vise, at udslagsvinklen i som funktion af tiden tilfredsstiller differentialligningen:

\theta''=-\cfrac{g}{L}\cdot sin(\theta)

med bibetingelserne \theta(0)=\theta_0 og \theta'(0)=\theta_0.

Denne differentialligning kan ikke løses symbolsk, men for små vinkler kan man lave en god tilnærmelse. På skærmbilledet nedenfor er grafen indtegnet for sin(x) sammen med dens tangent y = x i punktet (0,0):

Da tangenten og grafen stort set er sammenfaldende tæt ved 0, vil sin(x) = x i denne omegn, hvor xmåles i radianer. I praksis skal vinklen blot være mindre end ca. 15^\circ.

Med denne tilnærmelse simplificeres differentialligningen til

\theta''=-\cfrac{g}{L}\cdot \theta

med bibetingelserne \theta(0)=\theta_0 og \theta'(0)=\theta_0.

Denne er lige til at løse, omend der er overraskelser undervejs. Ved blot at taste ligningen ind med bibetingelser, får du en noget underlig løsning. Det hænger sammen med, at det ikke kan afgøres om faktoren -\cfrac{g}{L} er positiv eller negativ, og det er meget afgørende for løsningens udseende.

Dette kan du undgå ved eksplicit at gøre opmærksom på, at såvel g som L er positive tal ved at tilføje betingelsen |g>0 and L>0 til deSolve. Hele kommandoen kommer til at se sådan ud:

deSolve(\theta''=-\cfrac{g}{L}\cdot \theta and \theta(0)=\theta_0 and \theta'(0)=\theta_0, t, \theta)|g>0 and L>0

Perioden i denne harmoniske svingning kan findes ved at løse ligningen

\cfrac{\sqrt{g}\cdot t}{\sqrt{L}}=2 \cdot \pi

hvorved du finder formlen for svingningstiden for et matematisk pendul (med små udsving):

T=2\cdot \pi \sqrt{\cfrac{L}{g}}