Vektoroversigt
Afstandsformlen
Afstanden mellem punkterne A(x_1,y_1) og B(x_2,y_2) er |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
Linjens ligninger
- y=a\cdot x+b
- a hældning, b skæringspunkt med y-aksen
- y-y_0=a\cdot (x-x_0)
- a hældning, (x_0,y_0) punkt på linjen
- a\cdot x+b\cdot y+c
- \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} normalvektor
- a\cdot (x-x_0)+b(y-y_0)=0
- \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} normalvektor, (x_0,y_0) punkt i linjen
Linjens parameterfremstilling
En parameterfremstilling for linjen gennem punktet (x_0,y_0) med retningsvektoren \vec{r}=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix} er
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}\qquad eller \qquad \begin{matrix}x=x_0+t\cdot r_1\\y=y_0+t\cdot r_2 \end{matrix}
Linjens hældning
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, x_1\neq x_2 hvor (x_1,y_1) og (x_2,y_2) er punkter på linjen
Vektors koordinator
For vektorerne \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} og \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} gælder det at
\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}
\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}
k\cdot \vec{a}=\begin{pmatrix}k\cdot a_1\\k \cdot a_2\end{pmatrix}
En vektor \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} indskrives i TI-Nspire på følgende måde a:=[2,1]
Tværvektor
Tværvektoren \hat{a} til \vec{a} har koordinaterne \vec{a}=\begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix}
Ortogonalitet
Linjerne med ligningerne y=a\cdot x+b og y=c\cdot x+d er ortogonale, netop hvis produktet af deres hældninger er -1 dvs. at a\cdot c=-1 .
Vektor mellem to punkter
Hvis A(x_1,y_1) og B(x_2,y_2) er to punkter, er \vec{AB}=\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}
Vektors længde
Længden af vektoren \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} er |\vec{a}|=\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}}
Kommandoen i TI-Nspire hedder: norm(a)
Projektionen \vec{a_b} af \vec{a} på \vec{b} er givet ved \vec{a_b}=\cfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\cdot \vec{b}, hvor \vec{a} og \vec{b} er egentlige vektorer
Kommandoen i TI-Nspire hedder: dotP(a,b)/(norm(b))^2*b
Længden af den projicerede vektor er |\vec{a_b}|=\cfrac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}
Kommandoen i TI-Nspire hedder: abs(dotP(a,b))/norm(b)
Afstand fra punkt til linje
Afstanden fra punktet P(x_1,y_1) til linjen m med ligningen a\cdot x+b\cdot y+c=0 er dist(P,m)=\cfrac{|a\cdot x_1 +b\cdot y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Kommandoen i TI-Nspire hedder: abs(a\cdot x_1 +b\cdot y_1 +c)/sqrt(a^2+b^2)
Indtastet i TI-Nspire er afstanden fra linjen 2\cdot x-3\cdot y+1=0 til punktet (4,6) følgende abs(2*4 +(-3)*6 +1)/sqrt(2^2+(-3)^2)
Determinanten
Determinanten for vektorparret (\vec{a},\vec{b}) er det(\vec{a},\vec{b})=\hat{a}\cdot\vec{b}=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1
I Ti-Nspire findes determinanten mellem vektorerne \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} og \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} således det\left( \left[{1\atop 3}{5\atop 2} \right] \right)
Vær opmærksom på at det skal indskrives som en matrix, man kan altså ikke bruge de definerede vektorer.
det(\vec{a},\vec{b})=0 \Longleftrightarrow \vec{a}||\vec{b}
Den numeriske værdi af det(\vec{a},\vec{b}) er arealet af det parallelogram, som \vec{a} og \vec{b} udspænder.
Eksempler på vektoropgaver
Eksempel 1:
I et koordinatsystem i rummet er der givet 3 vektorer:
\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\qquad \vec{c}=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}
a) Bestem et gradtal for vinklen mellem \vec{a} og \vec{b} .
b) Bestem koordinatsættet til projektionen af \vec{a} på \vec{c}.
c) Bestem tallene s og t, således at vektoren: \vec{d}=\vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c} står vinkelret på både \vec{b} og \vec{c}, og angiv koordinaterne for \vec{d}.
Husk at indstille til at regne i grader. Dobbeltklik på Indstillinger i statuslinjen og indstil her. Du kan også indstille et enkelt matematikfelt til at regne i grader. Det sker under attributter.
Sådan kan du løse opgaven i et Noter værksted:
Eksempel 2:
I et koordinatsystem i rummet er givet et punkt P(5,4,3). To linjer l og m er bestemt ved:
l:\,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\cdot t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, t\in R
m:\,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}\cdot s\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, s\in R
a) Bestem en ligning for den plan \alpha, der indeholder P og l.
b) Find koordinatsættet til m’s skæringspunkt med \alpha.
c) Bestem et gradtal for den spidse vinkel, som m danner med \alpha.
d) Bestem parameterfremstillingen for den linje, der går gennem P og skærer både l og m.
Du kan naturligvis også benytte skalarproduktet til at bestemme planens ligning: dotP(n,[x;y;z]-p)=0