Matematikhjælp til TI-Nspire: Linjer, vektorer og afstande
598
page-template-default,page,page-id-598,ajax_fade,page_not_loaded,,select-theme-ver-4.7,vertical_menu_enabled,paspartu_enabled,menu-animation-underline,side_area_uncovered,wpb-js-composer js-comp-ver-6.2.0,vc_responsive

Linjer, vektorer og afstande

Vektoroversigt

Vektoroversigt
Vektoroversigt 2

Afstandsformlen

Afstanden mellem punkterne A(x_1,y_1) og B(x_2,y_2) er |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Linjens ligninger

  • y=a\cdot x+b
    •  a hældning, b skæringspunkt med y-aksen

 

  • y-y_0=a\cdot (x-x_0)
    • a hældning, (x_0,y_0) punkt på linjen

 

  • a\cdot x+b\cdot y+c
    • \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} normalvektor

 

  • a\cdot (x-x_0)+b(y-y_0)=0
    • \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} normalvektor, (x_0,y_0) punkt i linjen

Linjens parameterfremstilling

En parameterfremstilling for linjen gennem punktet (x_0,y_0) med retningsvektoren \vec{r}=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix} er

 

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}\qquad eller \qquad \begin{matrix}x=x_0+t\cdot r_1\\y=y_0+t\cdot r_2 \end{matrix}

Linjens hældning

a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, x_1\neq x_2 hvor (x_1,y_1) og (x_2,y_2) er punkter på linjen

Vektors koordinator

For vektorerne \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} og \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} gælder det at

 

\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}

 

\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}

 

k\cdot \vec{a}=\begin{pmatrix}k\cdot a_1\\k \cdot a_2\end{pmatrix}

 

En vektor \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} indskrives i TI-Nspire på følgende måde a:=[2,1]

Tværvektor

Tværvektoren \hat{a} til \vec{a} har koordinaterne \vec{a}=\begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix}

Ortogonalitet

Linjerne med ligningerne y=a\cdot x+b og y=c\cdot x+d er ortogonale, netop hvis produktet af deres hældninger er -1 dvs. at a\cdot c=-1 .

Vektor mellem to punkter

Hvis A(x_1,y_1) og B(x_2,y_2) er to punkter, er \vec{AB}=\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}

Vektors længde

Længden af vektoren \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} er |\vec{a}|=\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}}

Kommandoen i TI-Nspire hedder: norm(a)

 

Projektionen \vec{a_b} af \vec{a}\vec{b} er givet ved \vec{a_b}=\cfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\cdot \vec{b}, hvor \vec{a} og \vec{b} er egentlige vektorer

Kommandoen i TI-Nspire hedder: dotP(a,b)/(norm(b))^2*b

 

Længden af den projicerede vektor er |\vec{a_b}|=\cfrac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}

Kommandoen i TI-Nspire hedder: abs(dotP(a,b))/norm(b)

Afstand fra punkt til linje

Afstanden fra punktet P(x_1,y_1) til linjen m med ligningen a\cdot x+b\cdot y+c=0 er dist(P,m)=\cfrac{|a\cdot x_1 +b\cdot y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Kommandoen i TI-Nspire hedder: abs(a\cdot x_1 +b\cdot y_1 +c)/sqrt(a^2+b^2)

 

Indtastet i TI-Nspire er afstanden fra linjen 2\cdot x-3\cdot y+1=0 til punktet (4,6) følgende abs(2*4 +(-3)*6 +1)/sqrt(2^2+(-3)^2)

Determinanten

Determinanten for vektorparret (\vec{a},\vec{b}) er det(\vec{a},\vec{b})=\hat{a}\cdot\vec{b}=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1

 

I Ti-Nspire findes determinanten mellem vektorerne \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} og \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} således det\left( \left[{1\atop 3}{5\atop 2} \right] \right)

 

 Vær opmærksom på at det skal indskrives som en matrix, man kan altså ikke bruge de definerede vektorer.

 

det(\vec{a},\vec{b})=0 \Longleftrightarrow \vec{a}||\vec{b}

Den numeriske værdi af det(\vec{a},\vec{b}) er arealet af det parallelogram, som \vec{a} og \vec{b} udspænder.

Eksempler på vektoropgaver

Eksempel 1:

I et koordinatsystem i rummet er der givet 3 vektorer:

 

\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\qquad \vec{c}=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}

 

a) Bestem et gradtal for vinklen mellem \vec{a} og \vec{b} .

b) Bestem koordinatsættet til projektionen af \vec{a}\vec{c}.

c) Bestem tallene s og t, således at vektoren: \vec{d}=\vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c} står vinkelret på både \vec{b} og \vec{c}, og angiv koordinaterne for \vec{d}.

 

Husk at indstille til at regne i grader. Dobbeltklik på Indstillinger i statuslinjen og indstil her. Du kan også indstille et enkelt matematikfelt til at regne i grader. Det sker under attributter.

 

Sådan kan du løse opgaven i et Noter værksted:

Sådan kan du løse vektor opgaven i et Noter værksted
Sådan kan du løse vektoropgaven i et Noter værksted 2

Eksempel 2:

I et koordinatsystem i rummet er givet et punkt P(5,4,3). To linjer l og er bestemt ved:

 

l:\,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\cdot t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, t\in R

 

m:\,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}\cdot s\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, s\in R

 

a) Bestem en ligning for den plan \alpha, der indeholder P og l.

b) Find koordinatsættet til m’s skæringspunkt med \alpha.

c) Bestem et gradtal for den spidse vinkel, som danner med \alpha.

d) Bestem parameterfremstillingen for den linje, der går gennem og skærer både og m.

Bestem en ligning for den plan \alphaα, der indeholder P og l.
Find koordinatsættet til m’s skæringspunkt med \alphaα. Bestem derefter et gradtal for den spidse vinkel, som m danner med \alphaα.
Bestem parameterfremstillingen for den linje, der går gennem P og skærer både l og m.

Du kan naturligvis også benytte skalarproduktet til at bestemme planens ligning: dotP(n,[x;y;z]-p)=0